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DP 优化简介

引入

本页面列举了一些常见的动态规划（dynamic programming，DP）优化方法。所谓 DP 优化，是指许多动态规划问题虽然容易列出朴素的状态转移方程，但直接计算往往效率低下，因此需要借助一些技巧来降低时间复杂度。

这些方法彼此联系紧密，常常包含相似的思想，且往往需要结合多种技巧共同使用。因此，本文仅作粗略分类，侧重介绍一些最基本的思路。

利用常见技巧优化

许多动态规划问题的转移，可以通过常见的算法和数据结构进行优化。

这类技巧有两种常见的情形。第一种情形中，DP 问题有着如下状态转移方程：

\[ f(i) = F(a_i,\{f(j) : j < i\}). \]

其中，当前状态 \(f(i)\) 的计算依赖于当前的输入 \(a_i\) 和之前整个序列的状态 \(\{f(j):j < i\}\)。因此，可以维护一个数据结构，将每次 \(f(i)\) 的计算都看作是一次查询操作；而得到当前状态 \(f(i)\) 后，可以再执行一次修改操作，更新该数据结构，用于后续的转移。

第二种情形中，DP 问题有着如下状态转移方程：

\[ f(i,\cdot) = F(a_i,f(i-1,\cdot)). \]

其中，每个 \(f(i,\cdot)\) 都是一个数组或其他较复杂的对象。因此，虽然 \(f(i,\cdot)\) 只依赖于之前的单个状态，但是单次转移的复杂度很高，需要通过数据结构等技巧进行优化。

前缀和优化 DP

相关页面：前缀和

如果当前状态的计算依赖于之前状态的子段和，那么，可以通过维护前缀和来加速计算。其中，一类涉及高维前缀和的问题也称为 SOS DP。

习题：

单调队列/单调栈优化 DP

主页面：单调队列/单调栈优化

如果当前状态依赖于之前状态的区间最值等信息时，可以通过维护单调队列、单调栈来加速计算。

线段树/树状数组优化 DP

相关页面：线段树、树状数组

如果每次状态转移时，查询的都是某段区间上的和、最值等信息，或是单次修改操作涉及区间更新时，可以通过维护线段树、树状数组来加速计算。

习题：

CDQ 分治优化 DP

主页面：CDQ 分治优化 DP

类似前文，将整个 DP 过程看作是一系列查询和修改操作。对于有些问题，顺次计算复杂度过高，可以将整个查询和修改过程离线，利用 CDQ 分治加速计算。

CDQ 分治优化 DP 也常见于下列各类问题中：

倍增优化 DP

相关页面：倍增

有些问题中，需要将状态 \(f(i)\) 设为从初始状态开始，进行了 \(2^i\) 次转移时得到的结果。它利用了倍增的思想转化了原问题，因此常常称为倍增优化 DP。

有些时候，也会将状态转移方程类似

\[ f(i,j) = f(i-1,f(i-1,j)) \]

的 DP 问题称为倍增（优化）DP。

习题：

利用问题结构优化

许多动态规划问题具备如凸性、单调性等结构性质，合理利用这些性质可以快速求解。

斜率优化 DP

主页面：斜率优化

类似于上一节介绍的优化方法，利用问题的凸性，可以通过维护凸包加速单次转移。

四边形不等式优化 DP

主页面：四边形不等式优化

涉及的函数满足四边形不等式的 DP 问题，往往满足某种决策单调性。利用这一特性，有很多专门的方法可以降低计算复杂度。常见的问题类型包括一维决策单调性问题、区间分拆问题、区间合并问题等。

Slope Trick 优化 DP

主页面：Slope Trick

有些问题中，状态函数的差分（即斜率）在状态转移过程中更容易维护。这种优化也往往需要问题具有凸性。

WQS 二分/凸优化 DP

主页面：WQS 二分

对于带个数限制的最优化 DP 问题，如果不考虑个数限制时，问题更容易解决，且最优价值是关于该限制的凸函数，那么，可以通过 WQS 二分的方法简化计算。

利用数学方法优化

许多动态规划问题的转移，可以通过数学工具加速。

矩阵快速幂优化 DP

相关页面：快速幂

如果 DP 问题的状态转移方程可以写作一个自治的形式

\[ f(i) = F(f(i-1)), \]

也就是说，当前状态 \(f(i)\) 只取决于前一个状态 \(f(i-1)\)，而不依赖于其他输入，那么，可以直接通过快速幂加速计算

\[ f(n) = F^n(f(0)) \]

获得最终答案。由于单次操作 \(F\) 经常可以写作矩阵的形式，所以这一优化方法常称为矩阵快速幂优化 DP。实际上，任何满足结合律的变换（即任何 幺半群 内的元素）都可以应用该方法加速。

习题：

FFT 优化 DP

相关页面：FFT

如果 DP 问题的状态转移方程是一个卷积的形式，那么，可以考虑用 FFT 加速转移。当然，根据具体的题目，也可能会用到其他多项式技术。

习题：

Lagrange 插值优化 DP

相关页面：Lagrange 插值

有些 DP 问题的状态函数 \(f(i,j)\) 是关于 \(j\) 的 \(k\) 次多项式函数。此时，可以直接暴力计算它在 \(k+1\) 个点处的取值，并通过 Lagrange 插值求出 \(f(i,\cdot)\) 的表达式，进而优化转移甚至直接得到答案。

习题：

通过简化状态优化

除了优化转移外，还可以通过简化状态降低计算复杂度。

DP 套 DP 与 DFA 最小化

主页面：DP 套 DP、DFA 最小化

一些 DP 问题的状态函数可以写成 \(f(i,x)\) 的形式，但是 \(x\) 自身的转移较为复杂，甚至可能依赖于另一个 DP 问题。对于这类问题，可以首先为状态 \(x\) 的转移建立自动机，并通过 DFA 最小化的方法减少状态数量，再进行外层 DP。

状态设计优化 DP

主页面：状态设计优化

有些特殊的问题可以通过巧妙的状态设计大幅减少状态数量。

拓展阅读

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