向量

在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于「vector」一词的翻译不同。

在物理学科，一般翻译成「矢量」，并且与「标量」一词相对。在数学学科，一般翻译成「向量」。这种翻译的差别还有「本征」与「特征」、「幺正」与「酉」，等等。

在 OI Wiki，主要面向计算机等工程类相关学科，与数学学科关系更近一些，因此采用「向量」这个词汇。

定义及相关概念

向量：既有大小又有方向的量称为向量。数学上研究的向量为 自由向量，即只要不改变它的大小和方向，起点和终点可以任意平行移动的向量。记作 \(\vec a\) 或 \(\boldsymbol{a}\)。

有向线段：带有方向的线段称为有向线段。有向线段有三要素：起点，方向，长度，知道了三要素，终点就唯一确定。一般使用有向线段表示向量。

向量的模：有向线段 \(\overrightarrow{AB}\) 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为：\(|\overrightarrow{AB}|\) 或 \(|\boldsymbol{a}|\)。

零向量：模为 \(0\) 的向量。零向量的方向任意。记为：\(\vec 0\) 或 \(\boldsymbol{0}\)。

单位向量：模为 \(1\) 的向量称为该方向上的单位向量。一般记为 \(\vec e\) 或 \(\boldsymbol{e}\)。

平行向量：方向相同或相反的两个非零向量。记作：\(\boldsymbol a\parallel \boldsymbol b\)。对于多个互相平行的向量，可以任作一条直线与这些向量平行，那么任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫 共线向量。

相等向量：模相等且方向相同的向量。

相反向量：模相等且方向相反的向量。

向量的夹角：已知两个非零向量 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b\)，作 \(\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a,\overrightarrow{OB}=\boldsymbol b\)，那么 \(\theta=\angle AOB\) 就是向量 \(\boldsymbol a\) 与向量 \(\boldsymbol b\) 的夹角。记作：\(\langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle\)。显然当 \(\theta=0\) 时两向量同向，\(\theta=\pi\) 时两向量反向，\(\theta=\frac{\pi}{2}\) 时两向量垂直，记作 \(\boldsymbol a\perp \boldsymbol b\)，并且规定 \(\theta \in [0,\pi]\)。

注意到平面向量具有方向性，两个向量不能比较大小（但可以比较两向量的模长）。但是两个向量可以相等。

向量的线性运算

向量的加减法

在定义了一种量之后，就希望让它具有运算。向量的运算可以类比数的运算，从物理学的角度出发也可以研究向量的运算。

类比物理学中的位移概念，假如一个人从 \(A\) 经 \(B\) 走到 \(C\)，那么他经过的位移为 \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)，这其实等价于这个人直接从 \(A\) 走到 \(C\)，即 \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。

注意到力的合成法则——平行四边形法则，同样也可以看做一些向量相加。

整理一下向量的加法法则：

向量加法的三角形法则：若要求和的向量首尾顺次相连，那么这些向量的和为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；
向量加法的平行四边形法则：若要求和的两个向量 共起点，那么它们的和向量为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，起点为两个向量共有的起点，方向沿平行四边形对角线方向。

这样，向量的加法就具有了几何意义。并且可以验证，向量的加法满足 交换律与结合律。

因为实数的减法可以写成加上相反数的形式，考虑在向量做减法时也这么写。即：\(\boldsymbol a-\boldsymbol b=\boldsymbol a+(-\boldsymbol b)\)。

这样，考虑共起点的向量，按照平行四边形法则做出它们的差，经过平移后可以发现 「共起点向量的差向量」是由「减向量」指向「被减向量」的有向线段。这也是向量减法的几何意义。

有时候有两点 \(A,B\)，想知道 \(\overrightarrow{AB}\)，可以利用减法运算 \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\) 获得。

向量的数乘

规定「实数 \(\lambda\) 与向量 \(\boldsymbol a\) 的积」为一个向量，这种运算就是向量的 数乘运算，记作 \(\lambda \boldsymbol a\)，它的长度与方向规定如下：

\(|\lambda \boldsymbol a|=|\lambda||\boldsymbol a|\)；
当 \(\lambda >0\) 时，\(\lambda\boldsymbol a\) 与 \(\boldsymbol a\) 同向，当 \(\lambda =0\) 时，\(\lambda \boldsymbol a=\boldsymbol 0\)，当 \(\lambda<0\) 时，\(\lambda \boldsymbol a\) 与 \(\boldsymbol a\) 方向相反。

根据数乘的定义，可以验证有如下运算律：

\[ \begin{aligned} \lambda(\mu \boldsymbol a)&=(\lambda \mu)\boldsymbol a\\ (\lambda+\mu)\boldsymbol a&=\lambda \boldsymbol a+\mu \boldsymbol a\\ \lambda(\boldsymbol a+\boldsymbol b)&=\lambda \boldsymbol a+\lambda \boldsymbol b \end{aligned} \]

特别地：

\[ \begin{gathered} (-\lambda)\boldsymbol a=-(\lambda \boldsymbol a)=-\lambda(\boldsymbol a)\\ \lambda(\boldsymbol a-\boldsymbol b)=\lambda \boldsymbol a-\lambda \boldsymbol b \end{gathered} \]

判定两向量共线

两个非零向量 \(\boldsymbol a\) 与 \(\boldsymbol b\) 共线 \(\iff\) 有唯一实数 \(\lambda\)，使得 \(\boldsymbol b=\lambda \boldsymbol a\)。

证明：由数乘的定义可知，对于非零向量 \(\boldsymbol a\)，如果存在实数 \(\lambda\)，使得 \(\boldsymbol b=\lambda \boldsymbol a\)，那么 \(\boldsymbol a \parallel \boldsymbol b\)。

反过来，如果 \(\boldsymbol a\parallel \boldsymbol b\)，\(\boldsymbol a \not = \boldsymbol 0\)，且 \(|\boldsymbol b|=\mu |\boldsymbol a|\)，那么当 \(\boldsymbol a\) 与 \(\boldsymbol b\) 同向时，\(\boldsymbol b=\mu \boldsymbol a\)，反向时 \(\boldsymbol b=-\mu \boldsymbol a\)。

最后，向量的加，减，数乘统称为向量的线性运算。

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量基本定理

定理内容：如果两个向量 \(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}\) 不共线，那么存在唯一实数对 \((x,y)\)，使得与 \(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}\) 共面的任意向量 \(\boldsymbol p\) 满足 \(\mathbf p=x\boldsymbol{e_1}+y\boldsymbol{e_2}\)。

平面向量那么多，怎样用尽可能少的量表示出所有平面向量？

只用一个向量表示出所有向量显然是不可能的，最多只能表示出某条直线上的向量。

再加入一个向量，用两个 不共线 向量表示（两个共线向量在此可以看成同一个向量），这样可以把任意一个平面向量分解到这两个向量的方向上了。

在同一平面内的两个不共线的向量称为基底。如果基底相互垂直，那么在分解的时候就是对向量 正交分解。

平面向量的坐标表示

如果取与横轴与纵轴方向相同的单位向量 \(i,j\) 作为一组基底，根据平面向量基本定理，平面上的所有向量与有序实数对 \((x,y)\) 一一对应。

而有序实数对 \((x,y)\) 与平面直角坐标系上的点一一对应，于是作 \(\overrightarrow{OP}=\boldsymbol p\)，那么终点 \(P(x,y)\) 也是唯一确定的。由于研究的对象是自由向量，可以自由平移起点，这样，在平面直角坐标系里，每一个向量都可以用有序实数对唯一表示。

平面向量的坐标运算

平面向量线性运算

由平面向量的线性运算可以推导其坐标运算，主要方法是将坐标全部化为用基底表示，然后利用运算律进行合并，之后表示出运算结果的坐标形式。

若两向量 \(\boldsymbol a=(m,n)\)，\(\boldsymbol b=(p,q)\)，则：

\[ \begin{aligned} \boldsymbol a+\boldsymbol b&=(m+p,n+q)\\ \boldsymbol a-\boldsymbol b&=(m-p,n-q)\\ k\boldsymbol a&=(km,kn) \end{aligned} \]

求一个向量的坐标表示

已知两点 \(A(a,b),B(c,d)\)，易证 \(\overrightarrow{AB}=(c-a,d-b)\)。

平移一点

有时需要将一个点 \(P\) 沿一定方向平移某单位长度，这样把要平移的方向和距离组合成一个向量，利用向量加法的三角形法则，将 \(\overrightarrow{OP}\) 加上这个向量，得到的向量终点即为平移后的点。

三点共线的判定

若 \(A,B,C\) 三点共线，则 \(\overrightarrow{OB}=\lambda \overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OC}\)。

三点共线判定的拓展

在三角形 \(ABC\) 中，若 \(D\) 为 \(BC\) 的 \(n\) 等分点（\(n\ BD=k\ DC\)），则有：\(\overrightarrow{AD}=\frac{n}{k+n}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k+n}\overrightarrow{AC}\)

在三维空间中的拓展（立体几何/空间向量）

在空间中，以上部分所述的所有内容均成立。更有：

空间向量基本定理

定理内容：如果三个向量 \(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\boldsymbol{e_3}\) 不共面，那么存在唯一实数对 \((x,y,z)\)，使得空间中任意向量 \(\boldsymbol p\) 满足 \(\mathbf p=x\boldsymbol{e_1}+y\boldsymbol{e_2}+z\boldsymbol{e_3}\)。根据空间向量基本定理，我们同样可以使用三个相互垂直的基底 \(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2},\boldsymbol{e_3}\) 作为正交基底，建立 空间直角坐标系 并用一个三元组 \((x,y,z)\) 作为坐标表示空间向量。

共面向量基本定理

如果存在两个不共线的向量 \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\), 则向量 \(\boldsymbol{p}\) 与 \(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\) 共面的充要条件是存在唯一实数对 \((a,b)\) 使得 \(\boldsymbol{p}=a\boldsymbol{x}+b\boldsymbol{y}\)。

方向向量

空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置，由它经过的空间一点及它的一个方向向量 完全确定。

注意，平面中的直线也有方向向量。

对于空间中的直线，对其方向向量有以下求法：

若有 \(A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2)\)，则 \(AB\) 所在直线的一个方向向量为 \(\boldsymbol{s}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\)。
若已知一个与所求直线垂直的平面，该平面一般方程为 \(ax+by+cz+d=0\)，那么垂直于该平面的直线的一个方向向量为 \(\boldsymbol{s}=(a,b,c)\)，该方向向量也是该平面的 一个法向量。

法向量

对于一个面 \(ABCD\)，其法向量 \(\boldsymbol{n}\) 与这个面垂直。

计算方法：任取两个面内直线 \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\)，使得 \(\overrightarrow{AB} \cdot \boldsymbol{n}=\boldsymbol{0}\) 且 \(\overrightarrow{AD} \cdot \boldsymbol{n}=\boldsymbol{0}\)，利用坐标法即可计算。

向量与矩阵

线性代数中，线性变换可以用矩阵表示。令 \(T\) 表示一个将 \(\mathbf R^n\) 映射到 \(\mathbf R^m\) 的线性变换，\(\mathbf x\) 表示一个 \(n\) 维列向量，则存在一个 \(m\times n\) 矩阵 \(A\)，使得

\[ T(\mathbf x)=A\mathbf x. \]

矩阵 \(A\) 称为线性变换 \(T\) 的变换矩阵。在算法问题中，一般情况下线性变换在相同维度下进行，因此 \(A\) 是一个方阵。这样，对向量的线性变换问题可以转化为矩阵乘法问题。

接下来我们探讨三种竞赛中较为常见的变换与其对应的变换矩阵：放缩变换（变换矩阵用 \(S\) 表示）、旋转变换（变换矩阵用 \(R\) 表示）和平移变换（变换矩阵用 \(T\) 表示）。

放缩变换

对于 \(n\) 维列向量 \(\boldsymbol a\)，将其每一维放缩 \(v_1,v_2,\ldots,v_n\) 倍。很容易发现放缩操作的变换矩阵 \(R\) 是 \(n\times n\) 的对角矩阵，即 \(S=\operatorname{diag}\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}\)。

旋转变换

向量的旋转是相对复杂的操作，我们仅限于讨论二维和三维的情况。

向量绕点旋转

对于向量绕点旋转，一般指的是向量绕原点旋转。对于某一点绕另一点 \(P\) 旋转，可以利用平移变换使得点 \(P\) 位于原点，进行向量旋转后再将坐标系平移回原位置即可。设平移操作的变换矩阵为 \(T\)，绕原点旋转操作的变换矩阵为 \(R\)，则整个过程的变换矩阵为 \(TRT^{-1}\)。根据几何意义，\(T^{-1}\) 一定存在。

对于二维空间，设 \(\boldsymbol a=(x,y)\)，倾角为 \(\theta\)，长度为 \(l=\sqrt{x^2+y^2}\)。则 \(x=l\cos \theta,y=l\sin\theta\)。令其绕原点逆时针旋转 \(\alpha\) 角，得到向量 \(\boldsymbol b=(l\cos(\theta+\alpha),l\sin(\theta+\alpha))\)。

由三角恒等变换得，

\[ \boldsymbol{b}=(l(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha),l(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha)) \]

化简，

\[ \boldsymbol b=(l\cos\theta\cos\alpha-l\sin\theta\sin\alpha,l\sin\theta\cos\alpha+l\cos\theta\sin\alpha) \]

把上面的 \(x,y\) 代回来得

\[ \boldsymbol b=(x\cos\alpha-y\sin\alpha,y\cos\alpha+x\sin\alpha) \]

因此二维空间下，变换矩阵 \(R\) 为

\[ R= \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{bmatrix}. \]

对于三维空间，向量旋转需要使用两个角度参量，即天顶角旋转角度与方向角旋转角度，可以利用空间球坐标系进行旋转操作。

向量绕直线旋转

对于三维向量，更常见的的是绕某直线旋转。同样为了方便，此直线是过原点的。如果直线不过原点，我们仍可以平移坐标系进行转化。

取直线的方向向量 \(\boldsymbol u=(u_x,u_y,u_z)\)，设三维向量绕其逆时针旋转 \(\theta\) 角。则对应的变换矩阵 \(R\) 为¹

\[ R= \begin{bmatrix} u_x^2 \left(1-\cos \theta\right) + \cos \theta & u_x u_y \left(1-\cos \theta\right) - u_z \sin \theta & u_x u_z \left(1-\cos \theta\right) + u_y \sin \theta \\ u_x u_y \left(1-\cos \theta\right) + u_z \sin \theta & u_y^2\left(1-\cos \theta\right) + \cos \theta & u_y u_z \left(1-\cos \theta\right) - u_x \sin \theta \\ u_x u_z \left(1-\cos \theta\right) - u_y \sin \theta & u_y u_z \left(1-\cos \theta\right) + u_x \sin \theta & u_z^2\left(1-\cos \theta\right) + \cos \theta \end{bmatrix}. \]

平移变换

平移变换并非线性变换，而是仿射变换。但 \(\mathbf R^n\) 下的仿射变换仍可以用 \(\mathbf R^{n+1}\) 下的线性变换表示。

考虑 \(n\) 维向量 \(\boldsymbol a=(a_1,a_2, \ldots , a_n)\)，现在要将其沿向量 \(\boldsymbol t=(t_1, t_2, \ldots , t_n)\) 平移。我们对列向量 \(\boldsymbol a\) 添加一维并置为 \(1\)，得到新列向量 \(\boldsymbol a'=(a_1, a_2, \ldots , a_n, 1)\)。则变换矩阵 \(T\) 可以写作

\[ T= \begin{bmatrix} 1 & & & & t_1 \\ & 1 & & & t_2 \\ & & \ddots & & \vdots \\ & & & 1 & t_n \\ & & & & 1 \\ \end{bmatrix}. \]

对于其他线性变换矩阵，在矩阵中增加一列与一行，除右下角的元素为 \(1\) 外其它部分填充为 \(0\)，通过这种方法，所有的线性变换矩阵都可以转换为仿射变换矩阵。例如，对于二维向量旋转，变换矩阵可以变为

\[ R'= \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \]

向量的更严格定义

上文中，向量被定义为了空间中的有向线段。但是严格来说，向量不仅是有向线段。要作出向量的更严格定义，需要先定义线性空间，具体内容参见线性空间页面的介绍。

参见 Rotation matrix from axis and angle - Wikipedia ↩

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