二次域

本文简要介绍二次域的相关概念。与之相关的两个重要例子是 Gauss 整数和 Eisenstein 整数，它们可以用于解决一些数论问题。

基本概念

本节首先介绍一系列基本概念。二次域和二次整数环都是更一般的代数扩域和代数整数环的概念的特例，因此本节的几乎所有定义和结论都可以恰当地推广到一般的情形。本节的讨论将限于二次域这一特殊情形，而不引入过多的代数数论内容。

二次域

二次域的元素都是二次代数数。

二次代数数（quadratic algebraic number）是可以表示为整系数一元二次方程的解的复数。由一元二次方程的求根公式可知，所有二次代数数均可以表示成

\[ a+b\sqrt{d} \]

的形式，其中，$a$ 与 $b$ 为有理数，$d$ 为整数且无平方因子。任意这种形式的数也都是二次代数数。二次代数数可以分为有理数和 二次无理数（quadratic irrational number）。显然，二次无理数表示成上述形式的方法是唯一的。

对于任意无平方因子的整数 $d\neq 0,1$，都可以验证集合 $Q(\sqrt{d})=\{a+b\sqrt{d}:a,b\in\mathbf Q\}$ 对于加、减、乘、除是封闭的。由于对于四则运算封闭的集合称为域，集合 $Q(\sqrt{d})$ 就称为 二次域（quadratic field）。每一个二次域都包含全体有理数，因此它们都是有理数域 $\mathbf Q$ 的二次扩域。当 $d>0$ 时，二次域 $\mathbf Q(\sqrt{d})$ 中所有数都是实数，此时的 $\mathbf Q(\sqrt{d})$ 称为实二次域；当 $d<0$ 时，二次域中除了有理数都是复数，此时的 $\mathbf Q(\sqrt{d})$ 称为虚二次域。

共轭与范数

二次无理数 $a+b\sqrt{d}$ 的共轭（conjugate）定义为 $a-b\sqrt{d}$。共轭的二次无理数是同一个整系数二次方程的两个相异的根。在实二次域中，二次无理数的共轭与它作为复数的共轭并不一致；在虚二次域中，二次无理数的共轭就是它作为复数的共轭。最后，有理数的共轭规定为它自身。这样就对于全体二次代数数定义了共轭的概念。

任意二次域中，由加减乘除四则运算产生的等式，无法区分共轭关系。也就是说，在等式中将每一个数换成它的共轭，即将每一个二次根号的符号改变，等式仍然成立。

利用共轭，可以构造若干个从二次代数数到有理数的映射，它们可以将对二次代数数进行的讨论转化为对有理数的讨论。较为简单的是二次代数数 $\alpha$ 的迹（trace），即一个数与它的共轭的和，记作 $\operatorname{tr}(\alpha)$。因为这其实就是它的有理数部分的 $2$ 倍，所以并没有提供太多信息。

更为有用的是二次代数数的范数。二次代数数与它的共轭的积称为它的范数（norm）：

\[ N(a+b\sqrt{d})=a^2-db^2 \]

显然，在虚二次域中，范数的概念，与复数的模的平方的概念一致；但是，在实二次域中这两个概念并不一致。

范数具有良好的性质。首先，因为 $d$ 不含平方因子，不可能是平方数，所以只有 $0$ 的范数是 $0$。其次，范数保持乘法和除法：

\[ N(a_1+b_1\sqrt{d})N(a_2+b_2\sqrt{d})=N((a_1+b_1\sqrt{d})(a_2+b_2\sqrt{d})), \]

\[ \frac{N(a_1+b_1\sqrt{d})}{N(a_2+b_2\sqrt{d})}=N\left(\frac{a_1+b_1\sqrt{d}}{a_2+b_2\sqrt{d}}\right). \]

另外，二次代数数的倒数就是它的共轭与它的范数之比：

\[ \dfrac{1}{a+b\sqrt{d}}=\frac{a-b\sqrt{d}}{N(a+b\sqrt{d})}. \]

利用 Vieta 定理可知，二次代数数 $\alpha$ 实际上是方程

\[ x^2-\operatorname{tr}(\alpha)x+N(\alpha)=0 \]

的根。该方程的判别式也称为该二次代数数的 判别式（discriminant），记作 $\operatorname{disc}(\alpha)$，取值为 $4db^2$。

矩阵表示

类似于复数，二次代数数也可以用矩阵表示。令 $d\neq 0,1$ 为无平方因子的整数且 $a,b$ 为有理数，则 $a+b\sqrt{d}$ 可以表示为矩阵

\[ \begin{pmatrix}a & b \\ db & a\end{pmatrix}. \]

可以验证，该矩阵的加、减、乘、除四则运算的结果就对应于二次代数数的运算结果。该矩阵的迹和行列式分别对应了二次代数数的迹和范数，该矩阵的特征多项式的判别式就是二次代数数的判别式。矩阵的伴随矩阵对应着二次代数数的共轭。

二次整数环

二次代数数中较为特殊的是二次整数。二次整数（quadratic integer）指可以表示为二次项系数为一的整系数一元二次方程的解的复数。与二次代数数的唯一不同就是对于二次项系数的限制。根据求根公式，二次方程 $x^2+px+q=0$ 的两个根是

\[ \frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}. \]

如果 $p$ 是偶数，即 $p=2k$，那么两个根可以写作 $-k\pm\sqrt{k^2-q}$；如果 $p$ 是奇数，即 $p=2k+1$，那么两个根可以写作 $-k-\dfrac{1\pm\sqrt{4(k^2+k-q)+1}}{2}$。从这两种情形中可以归纳出 $\mathbf Q(\sqrt{d})$ 中的二次整数必然可以写作

\[ a+b\omega \]

的形式，其中，$a$ 和 $b$ 是整数，而

\[ \omega=\begin{cases} \dfrac{1+\sqrt{d}}{2}, & d\equiv 1\pmod 4,\\ \sqrt{d}, & d\equiv 2,3\pmod 4. \end{cases} \]

反过来，任何这种形式的复数都是二次整数。每个非有理数的二次整数写成该形式的方法都是唯一的。

二次域 $\mathbf Q(\sqrt{d})$ 中的全体二次整数构成的集合记作 $\mathbf Z[\omega]$。因为这个集合对于加、减、乘都是封闭的，所以它也称为 二次整数环（quadratic integer ring)。二次整数环中的有理数恰为全体整数。如果考察 $\mathbf Z[\omega]$ 中的二次整数的全体比值构成的集合，就得到相应的二次域 $\mathbf Q(\sqrt{d})$。

二次整数的迹、范数和判别式都是整数。二次整数环 $\mathbf Z[\omega]$ 中全体二次无理数的判别式的最小值也称为相应的二次域 $\mathbf Q(\sqrt{d})$ 的判别式。当 $d\equiv 1\pmod 4$ 时，判别式是 $d$；当 $d\equiv 2,3\pmod 4$ 时，判别式是 $4d$。

整除、相伴与单位数

类似于整数，对于二次整数同样可以建立整除理论。当然，讨论必须在同一个二次整数环内进行。

对于二次整数环 $\mathbf Z[\omega]$ 中的二次整数 $\alpha$ 和 $\beta$，如果存在同一个环中的二次整数 $\gamma$ 使得 $\beta=\alpha\gamma$ 成立，就称 $\alpha$ 整除 $\beta$，记作 $\alpha\mid\beta$。整除关系是二次整数环上的偏序关系。如果同时有 $\alpha\mid\beta$ 和 $\beta\mid\alpha$，那么 $\alpha$ 和 $\beta$ 在研究整除理论时就可以视作同一个数，它们称为相伴（associate）。相伴关系是二次整数环上的等价关系。

类比到整数的整除理论上，相伴关系就是互为相反数。整除理论通常只需要考虑自然数就好了，而不必考察负数的情形。对于二次整数而言，相伴关系可能更为复杂一些。如果二次整数 $\alpha$ 和 $\beta$ 相伴，则存在二次整数 $\gamma$ 和 $\delta$ 使得 $\beta=\alpha\gamma$ 和 $\alpha=\beta\delta$ 成立。因此，$\beta$ 和 $\alpha$ 的比值 $\gamma$ 必然是特殊的二次整数，即存在二次整数 $\delta$ 使得 $\gamma\delta=1$。这样的二次整数 $\gamma$ 称为 单位数（unit），也称为可逆元。两个二次整数相伴，当且仅当它们的比值是单位数。因此，要理解二次整数环上的相伴关系，就要理解它的单位数的结构。

因为范数可以保持乘法运算，且二次整数的范数总是整数，所以利用范数可以将二次整数的整除关系转化为整数的整除关系。也就是说，如果 $\alpha\mid\beta$，那么必然有 $N(\alpha)\mid N(\beta)$。同样地，二次整数 $\alpha$ 是单位数，当且仅当它的范数 $N(\alpha)=\pm 1$。因此，要获得二次整数环 $\mathbf Z[\omega]$ 中的全体单位数，只需要求解不定方程：

\[ N(a+b\sqrt{d})=1, \]

其中，范数的表达式为

\[ N(a+b\sqrt{d})=\begin{cases} a^2+ab+\dfrac{1-d}{4}b^2, & d\equiv 1\pmod 4,\\ a^2-db^2, & d\equiv 2,3\pmod 4. \end{cases} \]

对于虚二次整数环，即 $d<0$ 时，因为范数必然是非负整数，容易验证对于所有的无平方因子的负数 $d\neq -1,-3$，解都只有 $(a,b)=(\pm 1,0)$，即除了 $\mathbf Z[\sqrt{-1}]$ 和 $\mathbf Z[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}]$，虚二次整数环的单位数都只有 $\pm 1$。记 $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$，则二次整数环 $\mathbf Z[\mathrm{i}]$ 又称作 Gauss 整数环，它的单位数的集合为 $\{\pm 1,\pm\mathrm{i}\}$。记 $\omega=\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$，则二次整数环 $\mathbf Z[\omega]$ 又称为 Eisenstein 整数环，它的单位数的集合为 $\{\pm 1,\pm\omega,\pm\omega^2\}$。

对于实二次整数环，即 $d>0$ 时，情形较为复杂，可以转化为对相应的 Pell 方程的讨论。由 Pell 方程的相关结论可知，此时的全体单位数的集合可以写作 $\{\pm u^k:k\in\mathbf Z\}$，其中的 $u$ 称为 基本单位数（fundamental unit）。基本单位数可以通过相应的 Pell 方程进行求解。基本单位数并不是唯一的：如果 $u$ 是基本单位数，那么它的共轭 $\bar u$ 以及 $-u$ 和 $-\bar u$ 都是基本单位数。

二次整数环的单位数的结构可以推广到一般的代数整数环。代数数论中的 Dirichlet 单位定理指出，所有代数整数环的全体单位数都构成有限生成 Abel 群，同时这一定理也给出了这个群的阶。

整数的整除理论中的最大公因数、带余除法、Bezout 定理、唯一分解定理等内容都可以推广到部分或全部的二次整数环上。在某个二次整数环上能否进行这样的推广，其实反映了该二次整数环性质是否足够接近于整数环。并非所有二次整数环上都成立唯一分解定理；在成立唯一分解定理的二次整数环中，也只有一部分二次整数环上可以进行带余除法。对于这部分内容的讨论，可以参考环论部分的二次整数环一节或相关书籍。

唯一分解

整数的唯一分解定理如果可以推广到二次整数环上，应当具有这样的形式：环 $\mathbf Z[\omega]$ 中的每个二次整数都可以写成若干个不可约元的乘积，且这个分解在不计相伴和次序的意义下唯一。其中的不可约元是指不能够继续分解为非单位数的乘积的二次整数，类似于整数唯一分解定理中的素数。前文已经提及，并非所有的二次整数环都成立唯一分解定理。

例如，在 $\mathbf Z[\sqrt{-5}]$ 中有分解 $9=3\times 3=(2+\sqrt{-5})\times(2-\sqrt{-5})$，但是，$3$ 和 $2\pm\sqrt{-5}$ 都已经是不可约元，因而分解并不唯一。要说明这三个数都是不可约元，可以通过考察它们的范数：它们的范数都是 $9$，如果它们可以分解成非单位数的乘积，那么分解得到的因子的范数只能是 $3$，但是 $\mathbf Z[\sqrt{-5}]$ 中并没有范数为 $3$ 的二次整数。

一般的二次整数环中唯一分解定理不成立的主要原因是仅仅使用二次整数进行的分解是不够彻底的。例如要分解乘积 $abcd$，但是可选的基本元素只有 $\{ab,cd,ac,bd\}$ 时，得到的分解自然不唯一；要得到唯一分解定理，必须进一步考虑 $\{a,b,c,d\}$。在二次整数环中，比二次整数更为细致的结构就是二次整数环的理想，将二次整数映射至它对应的主理想可以将它所在的相伴等价类嵌入到理想的集合中，因而整数的分解只是理想的分解的特殊情形。如果考虑二次整数环中理想的分解，那么可以证明所有二次整数环的理想都可以唯一地分解为若干个素理想的乘积。这说明，二次整数环都是 Dedekind 整环。更一般地，所有的代数整数环都是 Dedekind 整环。

如果一个二次整数环上成立唯一分解定理，那么它的素理想和不可约元（在相伴意义下的等价类）一一对应，因此，对于这一类二次整数环，将理想分解为素理想就等价于将二次整数分解为不可约元。而且，此时的不可约元也称为素元，它就相当于整数中的素数的概念。下面的讨论将使用素理想及其相关概念，不熟悉这一概念的读者，可以将它们逐字逐句替换成素元，那么这些论述在唯一分解定理成立的情形下也是对的。

要完全地搞清楚一般的二次整数环 $\mathbf Z[\omega]$ 上的唯一分解，需要知道 $\mathbf Z[\omega]$ 中的素理想都有哪些。首先，$\mathbf Z[\omega]$ 中的每个素理想都整除它的范数（的主理想）。将它的范数在整数内分解为若干素数的乘积，则根据唯一分解定理，该素理想必然整除这些素数因子中的某个（的主理想）。因此，$\mathbf Z[\omega]$ 中的素理想一定是将整数中的素数进一步分解得到的。要列举出 $\mathbf Z[\omega]$ 中的全部素理想，只要给出 $\mathbf Z$ 中的素数 $p$（的主理想）在 $\mathbf Z[\omega]$ 中的唯一分解就可以了。因为素数 $p$（的主理想）在 $\mathbf Z[\omega]$ 中的范数是 $p^2$，而它分解成素理想意味着素理想的范数必然是 $p^2$ 的因子，故而只能是 $p$ 或 $p^2$。这说明只有如下三种可能性：

$p$ 在 $\mathbf Z[\omega]$ 中是惯性（inert）的，即 $(p)$ 在 $\mathbf Z[\omega]$ 中仍然是素理想；
$p$ 在 $\mathbf Z[\omega]$ 中分裂（split），即 $(p)$ 在 $\mathbf Z[\omega]$ 中可以写成两个不同的共轭素理想的乘积；
$p$ 在 $\mathbf Z[\omega]$ 中分歧（ramify），即 $(p)$ 在 $\mathbf Z[\omega]$ 中可以写成某个素理想的平方。

进一步可以证明，要判定某个素数 $p$ 落入这三种情形中的哪一种，只需要对 $\mathbf Z[\omega]$ 所在的二次域的判别式 $D$ 和该素数 $p$ 计算 Kronecker 符号 $\left(\dfrac{D}{p}\right)$ 就可以了。这三种情形分别对应着 Kronecker 符号的三种取值：$-1$，$+1$ 和 $0$。当 $p$ 是奇素数时，Kronecker 符号就是 Legendre 符号，这三种情形分别对应于 $D$ 是 $p$ 的二次非剩余，$D$ 是 $p$ 的二次剩余以及 $p$ 整除 $D$。当 $p=2$ 时，这三种情形分别对应于 $D\equiv \pm 3\pmod 8$，$D\equiv \pm 1\pmod 8$ 和 $2$ 整除 $D$。

Gauss 整数

本节中，令 $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ 表示虚数单位。二次域 $\mathbf Q(\mathrm{i})$ 也称为 Gauss 域，它也是四次分圆域。相应的二次整数环 $\mathbf Z[\mathrm{i}]$ 也称为 Gauss 整数环，其中的元素称为 Gauss 整数（Gaussian integer）。Gauss 整数的单位数共四个，即 $\pm 1$ 和 $\pm\mathrm{i}$，因而每个非零的 Gauss 整数有四个相伴元（含自身）。在复平面上，Gauss 整数表示的是全体整点，而 Gauss 整数的范数 $N(a+b\mathrm{i})=a^2+b^2$ 就是复平面上的范数。

Gauss 整数上可以做带余除法：对于 Gauss 整数 $a$ 和 $b\neq 0$，总存在 Gauss 整数 $q$ 和 $r$ 使得 $a=bq+r$ 成立，且 $N®

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