带修改莫队
请确保您已经会普通莫队算法了。如果您还不会，请先阅读前面的 普通莫队算法。
特点
普通莫队是不能带修改的。
我们可以强行让它可以修改，就像 DP 一样，可以强行加上一维 时间维, 表示这次操作的时间。
时间维表示经历的修改次数。
即把询问 \([l,r]\) 变成 \([l,r,\text{time}]\)。
那么我们的坐标也可以在时间维上移动，即 \([l,r,\text{time}]\) 多了一维可以移动的方向，可以变成：
- \([l-1,r,\text{time}]\)
- \([l+1,r,\text{time}]\)
- \([l,r-1,\text{time}]\)
- \([l,r+1,\text{time}]\)
- \([l,r,\text{time}-1]\)
- \([l,r,\text{time}+1]\)
这样的转移也是 \(O(1)\) 的，但是我们排序又多了一个关键字，再搞搞就行了。
可以用和普通莫队类似的方法排序转移，做到 \(O(n^{5/3})\)。
这一次我们排序的方式是以 \(n^{2/3}\) 为一块，分成了 \(n^{1/3}\) 块，第一关键字是左端点所在块，第二关键字是右端点所在块，第三关键字是时间。
最优块长以及时间复杂度分析
我们设序列长为 \(n\)，\(m\) 个询问，\(t\) 个修改。
带修莫队排序的第二关键字是右端点所在块编号，不同于普通莫队。
想一想，如果不把右端点分块：
- 乱序的右端点对于每个询问会移动 \(n\) 次。
- 有序的右端点会带来乱序的时间，每次询问会移动 \(t\) 次。
无论哪一种情况，带来的时间开销都无法接受。
接下来分析时间复杂度。
设块长为 \(s\)，则有 \(\dfrac{n}{s}\) 个块。对于块 \(i\) 和块 \(j\)，记有 \(q_{i,j}\) 个询问的左端点位于块 \(i\)，右端点位于块 \(j\)。
每「组」左右端点不换块的询问 \((i,j)\)，端点每次移动 \(O(s)\) 次，时间单调递增，\(O(t)\)。
左右端点换块的时间忽略不计。
表示一下就是：
考虑求导求此式极小值。设 \(f(s)=ms+\dfrac{n^2t}{s^2}\)。那 \(f'(s)=m-\dfrac{2n^2t}{s^3}=0\)。
得 \(s=\sqrt[3]{\dfrac{2n^2t}{m}}=\dfrac{2^{1/3}n^{2/3}t^{1/3}}{m^{1/3}}=s_0\)。
也就是当块长取 \(\dfrac{n^{2/3}t^{1/3}}{m^{1/3}}\) 时有最优时间复杂度 \(O\left(n^{2/3}m^{2/3}t^{1/3}\right)\)。
常说的 \(O\left(n^{5/3}\right)\) 便是把 \(n,m,t\) 当做同数量级的时间复杂度。
实际操作中还是推荐设定 \(n^{2/3}\) 为块长。
例题
我们不难发现，如果不带操作 1（修改）的话，我们就能轻松用普通莫队解决。
但是题目还带单点修改，所以用 带修改的莫队。
过程
先考虑普通莫队的做法：
- 每次扩大区间时，每加入一个数字，则统计它已经出现的次数，如果加入前这种数字出现次数为 \(0\)，则说明这是一种新的数字，答案 \(+1\)。然后这种数字的出现次数 \(+1\)。
- 每次减小区间时，每删除一个数字，则统计它删除后的出现次数，如果删除后这种数字出现次数为 \(0\)，则说明这种数字已经从当前的区间内删光了，也就是当前区间减少了一种颜色，答案 \(-1\)。然后这种数字的出现次数 \(-1\)。
现在再来考虑修改：
- 单点修改，把某一位的数字修改掉。假如我们是从一个经历修改次数为 \(i\) 的询问转移到一个经历修改次数为 \(j\) 的询问上，且 $i
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